A First course in Probability: Chapter2 확률의 공리
Table of Contents
서론
- 우선 사건에 대한 확률의 개념 소개.
- 이 확률이 어떤 상황에서 어떻게 계산될 수 있는 지 보여줌
- 실험의 표본 공간, 사건의 개념 습득
표본공간과 사건
- 확실한 결과를 예측할 수 없는 실험.
- 모든 가능한 결과의 집합은 알 수 있음.
- 실험의 모든 가능한 결과의 집합 : 표본공간(Sample space) S
- 표본 공간의 임의의 부분집합 : 사건(event) E
- 사건 E와 사건 F의 합사건(union), E 혹은 F가 발생할때: E \(\bigcup\) F
- 사건 E와 사건 F의 교사건(intersection), E와 F가 모두 발생할때: E \(\bigcap\) F
- 영사건(null event): 어떠한 결과도 포함하지 않음, \(\emptyset\)
- 만일 EF = \(\emptyset\)이면, E와 F는 _상호배반(mutually exclusive)
- 임의의 사건 E에 대해 E에 속하지 않는 표본공간 S의 모든 결과로 구성된 새로운 사건: \(E^c\), E의 여사건(complement)
- 합사건, 교사건, 여사건에 대한 세 가지 기본 연산들 사이의 유용한 관계: 드모르간 법칙( DeMorgan’s laws )
확률의 공리
- 사건의 확률을 정의하는 한가지 방법: 그 사건의 상대도수 에 의한 것
- 표본공간이 S인 어떤 실험이 정확히 동일한 조건하에서 반복적으로 실행된다고 가정. 표본공간 S의 각 사건 E에 대해 n(E)를 그 실험을 처음 n번 반복할 때 사건 E가 발생한 횟수로 정의.
- 사건 E의 확률 P(E)의 정의:
- 즉, P(E)는 사건 E가 발생한 횟수의 (극한)비율로 정의.
- 따라서, P(E)는 E의 극한 상대도수
Note
실제로는 극한비율을 얻지 못함 일정한 극한 값에 수렴한다는 가정을 하거나 공리 (axiom)를 언급하여 이러한 문제점 해결(확률론에서 자명한 해결방법, 명백한 공리를 가정하고 나서 일정한 극한 도수가 어떤 의미에서 존재함을 증명하는 것)
- 확률의 세 가지 공리
- 공리 1: \(0 \leq P(E) \leq 1\)
- 공리 2: \(P(S) = 1\)
- 공리 3: 임의의 상호배반인 일련의 사건들 \(E_1, E_2, ...\) 즉, \(i \neq j\) 일 때 \(E_i E_j = \emptyset\) 인 사건들)에 대해 아래의 식이 성립.
- P(E)를 사건 E의 확률(probability)
균등확률 결과를 갖는 표본공간
- 많은 실험에서 표본 공간에 속하는 모든 결과가 균등하게 발생한다고 가정.
- 즉, 표본 공간 S가 유한 집합 S= {1, 2, .., N}인 실험을 생각
으로 가정하는 것이 자연스럽기 때문에 공리 2, 3으로 부터 \[\begin{aligned} P({i}) = \frac{1}{N} \qquad i =1,2,...,N \end{aligned}\]
이 식과 공리 3으로부터 임의의 사건 E에 대해 \[\begin{aligned} P(E) = \frac{E에 속하는 결과의 개수}{S에 속하는 결과의 개수} \end{aligned}\]
연속집합함수인 학률
일련의 사건들이 만일 다음을 만족하면 증가하는 사건열 이라 한다. \[\begin{aligned} E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset E_{n+1} \subset \cdots \end{aligned}\]
반면에 만일 다음을 만족한다면 감소하는 사건열 이라 한다 \[\begin{aligned} E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset E_{n+1} \supset \cdots \end{aligned}\]
만일 \({E_n, n \leq 1}\) 이 증가하는 사건열이면 \(lim _{n\rightarrow \infty} E_n\) 을 다음과 같이 정의 \[\begin{aligned} lim _{n\rightarrow \infty} E_n = \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \end{aligned}\]
마찬가지로, 만일 \({E_n, n \leq 1}\) 이 감소하는 사건열이면 \(lim _{n\rightarrow \infty} E_n\) 을 다음과 같이 정의 \[\begin{aligned} lim _{n\rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{i=1}^{\infty} E_i \end{aligned}\]
신뢰의 측도인 확률
- 이제까지 주어진 실험에 대한 사건의 확률을 실험이 계속 반복될 때 스 사건이 얼마나 자주 발생하는 지의 측도로 해석
- 그러나 역시 확률 용어의 또 다른 용도
- e.g., ~ 가능성은 90%이다, ~확률은 0.4이다
- 가장 간단하고 자연스러운 해석은 확률을 각각 언급한 내용에서 개인적인 신뢰의 정도에 관한 측도로 적용
- 즉, 개별적인 신뢰의 정도애 관한 측도로서의 확률의 해석을 종종 확률의 개인적(personal) 또는 주관적(subjective) 개념 이라 한다.
Reference:
